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By JERROLD E. MARSDEN

RESUMEN:
Este es un libro de gran flexibilidad, diseñado para adaptarse tanto a las necesidades de las carreras de ingeniería como a las de física y matemáticas. Los autores se propusieron en especial desarrollar en el estudiante una comprensión intuitiva de l. a. materia e hicieron un texto autocontenido que puede seguirse, incluso, de forma autodidacta. los angeles obra contiene una gran cantidad de ejemplos, ejercicios y aplicaciones, con respuestas de ejercicios impares.

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La función logaritmo Definiremos ahora el logaritmo de tal forma que nuestra definición coincida con la definición usual de log x, cuando x está localizado en la parte positiva del eje real. En el caso real podemos definir al logaritmo como la inversa de la expo­ nencial (esto es, log x = y es la solución de e Y = x). Cuando permitimos a z variar sobre C, debemos ser más cuidadosos porque, como se ha mostrado, la exponen­ cial es periódica y por ende no tiene inversa. Más aún, la exponencial nunca es cero, por lo que no podemos esperar que se pueda definir el logaritmo en cero.

11. Lafunción raíz n-ésima se define como. vz- = Z 1/n = e (log z)/n para una elección específica de la rama de log z; con esta elección, es llamada una rama de la función raíz n-ésima. "fz = e (lag z)ln El siguiente teorema no debe sorprendernos. 12. [zasí definida, es una raíz n-ésima de z. Se obtiene como sigue. Si z = reie , entonces n¡z: = "[re i0/n donde 8 es elegida de modo que permanezca dentro de un intervalo particular correspondiente a la rama elegida. Conforme se agregan múltiplos de 21t a 8, obte- 46 CAP.

Lema de la distancia. 21. Suponga que K es compacto, Ces cerrado y K n C = 0. Entonces, la distancia d(K, C) de Ka C es mayor que O. Esto es, existe un número p > O tal que lz - wl > p siempre y cuando z esté en k y w esté en C. Demostración. El complemento de C, U= C\C, es un abierto, y K C U, por lo que cada punto zen K es el centro de algún disco D(z; p(z)) C U. La familia de discos más pequeños D(z; p(z)/2) también cubre a K y, por la compacidad, existe una co­ lección finita de ellos, que denotamos por D k = D(zk ; p(zk )/2), k = 1, 2, 3, ...

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