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By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

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Wenn U = {x E X I f(x) < O} und V = {x E X I f(x) > O}, dann sind U und V offen, Un V = 0, A c U und B c V. Daher ist (T4) erfiiIlt. D Nachdem die wichtigsten Trennungseigenschaften festgehalten sind, werden jetzt Hausdorffraume naher untersucht. Der nachste Satz gibt eine aquivalente Formulierung der Eigenschaft (T2 ), die in Beweisen haufig benutzt wird. 7 Satz. X 8ei ein topologi8cher Raum. X i8t hau8dorff8ch genau dann, wenn die Diagonale ~ = {(x, x) I x E X} in X x X abge8chlo88en i8t. BEWEIS: a) X sei hausdorffsch.

Ii) 1st U C X und UnF =f. 0 fur aile FE F, so ist U E:F. BEWEIS: Zu (i): Sind GI , ... , Gn E F, so ist G = GI n ... n Gn =f. 0 und F U{ G} besitzt die EDE. Da F maximal ist, ist G E :F. Zu (ii): Da Un F =f. 0 fiir alle F E F, folgt mit (i), daB FU{U} die EDE besitzt. Wegen der Maximalitat von Fist U E F. 13. Seien (Xc»c>EA eine Familie von nicht-Ieeren quasikomXc> das topologische Produkt, und 7r C> : X ~ Xl> sei pakten Riiumen, X = fiir jedes a E A die natiirliche Projektion. C sei eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen von X, die die EDE besitzt.

Eigenschaften dieser Art heif3en Trennungseigenschaften. Die wichtigsten Trennungseigenschaften werden mit (Tt), (T2 ), (T3) und (T4) bezeichnet. Die metrischen Riiume besitzen alle vier Eigenschaften. In diesem Paragraphen werden zuniichst die genannten Trennungseigenschaften aufgelistet, ihre Beziehungen zueinander erliiutert und schlieBlich Hausdorffriiume etwas eingehender besprochen. 1 Definition. Ein topologischer Raum X besitzt die Trennungseigenschaft (Til)' v E {I,2,3,4}, wenn fiir seine Topologie die folgende Aussage (Til) gilt: (Tt) Zu je zwei verschiedenen Punkten x und y von X existieren Umgebungen U von x und V von y, so daB x ~ V und y ~ U.

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